El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores — que pueden considerarse como unidad de medida — es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento permite establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una derivación de las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo triángulo es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
Si se observa un trapecio, se percibe que cada una de sus diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas superficies en una única operación, sumando ambas bases, dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
Propiedad fundamental de los polígonos regulares.
Observando las resultantes del estudio de las líneas de los polígonos regulares se detecta la siguiente propiedad fundamental:
En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas son iguales al apotema del polígono, y cuyas bases sumadas son iguales al perímetro del polígono.
En consecuencia, la superficie de un polígono regular será igual a la suma de las superficies de los triángulos que lo forman. Extendiendo la fórmula de cálculo de la superficie del triángulo, se deduce:
Superficie del círculo.
Considerando el círculo como un polígono regular cuyos lados son cada uno de los puntos que componen su circunferencia, ésta resulta ser su perímetro; y el radio es a la vez el apotema respecto de cada uno de esos puntos.
La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse a partir de la medida del radio, aplicando la propiedad fundamental del círculo.
La propiedad fundamental del círculo, consiste en que existe una relación permanente entre su radio y la medida de su circunferencia, que es un valor constante de 3,1416; el cual se designa con la letra griega PI.
En consecuencia, aplicando al círculo la regla general para el cálculo de la superficie de un polígono regular, se concluye:
Superficie de los polígonos irregulares.
Cualquier polígono irregular, puede descompoerse en triágulos, mediante el trazado de sus diagonales; o complementando éstas con perpendiculares desde un vértice a una diagonal.
Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas que conformen las bases y alturas de esos triángulos, será posible calcular su superficie; y sumarla para obtener la superficie total del polígono irregular.
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